3.1 二维随机变量

二维随机变量及其联合分布函数

设 $E$ 是⼀个随机试验, $\mathit{\Omega }$ 是其样本空间, 若对 $\mathit{\Omega }$ 中的任意⼀个样本点 $\omega$ 按照⼀定的对应法则, 存在⼀对实数 $X(\omega ),Y(\omega )$ 与之对应, 简记为 $(X,Y)$, 称之为二维随机变量

联合分布函数 $F(x,y)=P(\{X\le x\}\cup \{Y\le y\})=P(X\le x,Y\le y)$

f(x) = \{x\le 3:4\}|solid|purple
x = \{y\le 4:3\}|solid|purple
y < f(x)|purple|solid
(3,4)|label:(x,y)|cross|black

性质

1. $0\le F(x,y)\le 1$, 对于任意固定的 $x,y$, 有$$F(-\mathrm{\infty },y)=0,F(x,-\mathrm{\infty })=0,F(-\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty })=0,F(+\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })=1$$
2. 对 $F(x,y)$ 固定其中⼀个变量, 它关于另⼀个变量是单调不减的函数
3. 对 $F(x,y)$ 固定其中⼀个变量, 它关于另⼀个变量是右连续函数$$F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)$$
4. 对任意实数 $a<b,c<d$, (图形为一个矩形)$$F(b,d)-F(a,d)-F(b,d)+F(a,c)=P(a<X\le b,c<Y\le d)\ge 0$$

Warning

对于平面右上角的一块无穷区域 $\mathbf{I}$

$$P(X>a,Y>c)\ne 1-F(a,c)$$

计算时应当将整个平面减去三个区域 $\mathbf{I}\mathbf{I}\mathbf{,}\mathbf{I}\mathbf{I}\mathbf{I}\mathbf{,}\mathbf{I}\mathbf{V}$

$$\begin{array}{rl}P(X>a,Y>c)& =P(a<X<+\mathrm{\infty },c<y<+\mathrm{\infty })\\ & =1-F(+\mathrm{\infty },c)-F(a,+\mathrm{\infty })+F(a,c)\end{array}$$

left = 1; right = 6;
bottom = 0.5; top = 4;
---
y = 2|dashed|black
x = 3|dashed|black
(3,2)|label: (x, y)|black
f(x) = \{x\ge3:2\}|hidden
y>f(x)
(2.5, 2.5)|hidden|label:II|black
(2.5, 1.5)|hidden|label:III|black
(3.5, 1.5)|hidden|label:IV|black
(3.5, 2.5)|hidden|label:I|black

边缘分布函数

设⼆维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数为 $F(x,y)$, 分量 $X$ 和 $Y$ 也都是随机变量, 各⾃的分布函数分别记为 $F_X(x),F_Y(y)$, 并依次称为随机变量 $(X,Y)$ 关于 $X,Y$ 的边缘分布函数

$$F_X(x)=P(X\le x)=F(x,+\mathrm{\infty })$$$$F_Y(y)=P(Y\le y)=F(+\mathrm{\infty },y)$$

二维离散型随机变量

随机变量 $(X,Y)$ 在⼆维平⾯上所有可能的取值为有限对或可列无穷对, 则称 $(X,Y)$ 为 ⼆维离散型随机变量

设⼆维随机变量 $(X,Y)$ 的所有可能取值为 $(x_i,y_i),i,j=1,2,\cdots$, 则称 $P(X=x_i,Y=y_i)=p_{ij},i=j=1,2,\cdots$ 为⼆维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布律或联合分布列, 简称为分布律

$$\overline{)\begin{array}{ccc}{P}_{ij}& \begin{array}{ccc}& & X\\ x_1& x_2& \cdots & x_i& \cdots \end{array}& P_{\bullet j}={\displaystyle \sum _i{p}_{ij}}\\ \begin{array}{cc}& y_1\\ & y_2\\ Y& ⋮\\ & y_j\\ & ⋮\end{array}& \begin{array}{ccccc}{p}_{11}& p_{21}& \cdots & p_{i1}& \cdots \\ p_{12}& p_{22}& \cdots & p_{i2}& \cdots \\ ⋮& ⋮& & ⋮& \\ p_{1j}& p_{2j}& \cdots & p_{ij}& \cdots \\ ⋮& ⋮& & ⋮& \end{array}& \begin{array}{c}{p}_{\bullet 1}\\ p_{\bullet 2}\\ ⋮\\ p_{\bullet j}\\ ⋮\end{array}\\ p_{i\bullet }={\displaystyle \sum _j{p}_{ij}}& \begin{array}{ccccc}{p}_{1\bullet }& p_{2\bullet }& \cdots & p_{i\bullet }& \cdots \end{array}& {\displaystyle \sum _i\sum _j{p}_{ij}=1}\end{array}}$$

性质

若某数列满足下列性质, 则可以作为某个二维离散型随机变量的分布律

• 非负性$$p_{ij}\ge 0(i,j=1,2,\cdots )$$
• 规范性$$\sum _i\sum _j{p}_{ij}=1$$

由分布律求分布函数

⼆维离散型随机变量的分布函数与分布律互为确定

$$F(x,y)=\sum _{x_i\le x}\sum _{y_j\le y}{p}_{ij}$$

二维离散型随机变量的边缘分布律

以下分别为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布律

$$\begin{array}{rl}P(X=x_i)& =\sum _j{p}_{ij}\stackrel{\mathrm{记}\mathrm{为}}{=}{p}_{i\bullet },i=1,2,\cdots \\ P(Y=y_j)& =\sum _i{p}_{ij}\stackrel{\mathrm{记}\mathrm{为}}{=}{p}_{\bullet j},j=1,2,\cdots \end{array}$$

解题方法

已知边缘分布律求联合分布律

1. 利用边缘分布律公式列出所有关系
2. 求解这些关系
3. 列出分布表格

$p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_i)$ 的求法

古典概型 乘法公式

$$p_{ij}=P(X=x_i)P(Y=y_j|X=x_i)$$

二维连续型随机变量

⼆维连续型随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(X,Y)$ 为 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数 $f(x,y)$ (⼆元⾮负可积函数) 的二重积分

$$F(x,y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{y}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

性质

1. 非负性$$f(x,y)\ge 0,(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$$
2. 规范性$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1$$
3. 样本点落在任一区域 $D$ 的概率$$P((X,Y)\in D)=\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
4. 根据分布函数求概率密度函数 $f(x,y)$ 连续点处$${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}}=f(x,y)$$

• 如果 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量, 对平面上任意一条可以求长度的曲线, 有 $P(X,Y\in L)=0$ (连续随机变量任意点概率为零的推广)

边缘概率密度

已知联合分布可以求得边缘分布, 反之不能确定

$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}y\\ f_Y(y)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}x\end{array}$$

详见例题

常用连续型二维随机变量分布

均匀分布

连续型随机变量 $(X,Y)$ 服从二维有界区域 $G$ 上的均匀分布

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{A_G}},& (x,y)\in G,\\ 0,& \text{otherwise}.\end{array}$$

• $A_G$ 为 $G$ 的面积

*二维正态分布

公式

$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2;{\mu }_2,{\sigma }_2^2;\rho )$, ${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho$

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}[\frac{{(x-{\mu }_1)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{{(y-{\mu }_2)}^2}{{\sigma }_2^2}]\}$$

• 二维正态分布的边缘分布为两个独立的一维正态分布