11.1 数项级数

数项级数的概念

定义

给定数列 $\left\{a_n\right\}$, 和式

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots \$\$\mathrm{为}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{级}\mathrm{数},\mathrm{简}\mathrm{称}\mathrm{级}\mathrm{数}-\mathrm{和}\mathrm{式}\mathrm{中}\mathrm{的}\mathrm{每}\mathrm{一}\mathrm{项}\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{级}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{项}-\$a_n\$\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{级}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{通}\mathrm{项}\mathrm{或}\mathrm{者}\mathrm{一}\mathrm{般}\mathrm{项}\mathrm{级}\mathrm{数}\${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\$\mathrm{的}\mathrm{前}\$n\$\mathrm{项}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{和}:\$\$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k=a_1+a_2+\cdots +a_n}$$

余项级数 (余和)

$$\sum _{n=k+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$$

收敛与发散

收敛 若级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 的部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 收敛, 且

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=S$$

则级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 收敛, 且收敛到 $S$

当级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 收敛时, 通常把 $\left\{S_n\right\}$ 的极限 $S$ 称为级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 的和

$$S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$$

发散 若 $\left\{S_n\right\}$ 发散, 则称级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 发散

几何级数 (等比级数)

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}a{q}^{n-1}(aq\ne 1),S_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a(1-q^n)}{1-q}},& q\ne 1,\\ na,& q=1.\end{array}$$

• $|q|<1$, 收敛
• $|q|\ge 1$, 发散

基本性质

线性性

1. 若级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 收敛到 $S$, $c$ 为任意常数, 则级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}c{a}_n}$ 收敛到 $cS$
2. 若级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 和 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$ 分别收敛到 $S$ 和 $T$, 则级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\pm b_n)}$ 收敛到 $S\pm T$

改变有限项

将级数增加、删减或改换有限项，不改变级数的敛散

合并项

若级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 收敛到 $S$, 则将其相邻若干项加括号所得新级数仍然收敛到 $S$

• 逆否命题可以用来证明级数发散
• 逆命题不成立

级数收敛的必要条件

若级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 收敛, 则

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$$

• 一般项是无穷小
• 逆否命题可以用于证明级数发散$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\ne 0\text{ 或不存在}⟹\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\text{ 发散}$$
• 逆命题不成立