定义

设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上定义且有界。对 $[a,b]$ 作任意分划

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b$$

又 $\mathrm{\forall }{\xi }_i\in [x_{i-1},x_i](i=1,2,\cdots ,n)$，作和

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

其中 $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$ 为小区间的长度 若当 $\lambda =\underset{1\le \lambda \le n}{max}\{\mathrm{\Delta }{x}_i\}\to 0$ 时，上述和式总有极限 $I$，即

$$\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=I$$

则称函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，记为 $f\in R[a,b]$ 极限值 $I$ 称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记为

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

$a,b$ 分别为积分的下限和上限 $[a,b]$ 为积分区间 $f(x)$ 为被积函数，$x$ 为积分变量 $\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$ 称为黎曼和或积分和

• 无论分划与点 ${\xi }_i$ 如何选取，当 $\lambda \to 0$ 时，
  • 所有对应黎曼和都趋于同一数 $I$，则函数 $f\in R[a,b]$
  • 若不同种选取法趋于不同的数，则不可积

几何意义

若规定代数面积为 $x$ 轴上、下方的曲边图形面积、面积的相反数之和

• 当 $f(x)$ 为连续函数时，定积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 即为曲线 $f(x)$ 与 $x=a,b$ 所围区域的代数面积之和

函数的可积性

定理（充分条件）

在区间 $[a,b]$ 上，函数 $f(x)$ 若满足下列条件之一，则 $f(x)\in R[a,b]$

1. $f(x)\in C[a,b]$
2. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界且只有有限个间断点
3. $f(x)$ 在$[a,b]$ 上单调

$$f\mathrm{连}\mathrm{续}⟹f\mathrm{可}\mathrm{积}⟹f\mathrm{有}\mathrm{界}$$

• 一致连续

• 分段连续函数可积

  • $f(x)$ 在区间上除有限个第一类间断点以外均连续