2.4 随机变量函数的分布

离散型随机变量函数的分布

1. 列出 $X$ 的分布律
2. 直接由 $X$ 的取值确定 $Y=g(X)$ 的全部可能取值
3. 直接由 $P(X_i)$ 得到 $P(Y_i=g(X_i))$, 于是有 $Y$ 的分布律

连续型随机变量的分布

1. 由分布函数定义 $F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y)$
2. 对上式变换, $=P(X\le g^{-1}(y))=F(g^{-1}(y))$
   • 这里有可能会有平方, 变成 $P(X^2\le y)=P(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})$
3. 将 $g^{-1}(y)$ 作为自变量代入 $F(x)$, 得到上式左边的 $F_Y(y)$
4. 对 $F_Y(x)$ 求导得到 $y$ 的密度函数 $f_Y(x)$

一般性定理

设随机变量 $X$ 具有概率密度 $f_X(x),-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$, $g(x)$ 为 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内的严格单调的可导函数, 则随机变量 $Y=g(X)$ 的概率密度为

$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}|h^{\prime }(y)|\cdot f_X[h(y)],& \alpha <y<\beta ,\\ 0,& \text{otherwise.}\end{array}$$

• $h(y)$ 是 $g(x)$ 的反函数
• $\alpha =min\{g(-\mathrm{\infty }),g(+\mathrm{\infty })\},\beta =max\{g(-\mathrm{\infty }),g(+\mathrm{\infty })\}$