二阶导数

定义

若函数$y=f(x)$的导函数$f^{\prime }(x)$在点$x_0$处仍可导 则称${(f^{\prime }(x))}^{\prime }{|}_{x=x_0}$为$y=f(x)$在$x_0$处的二阶导数 记为$f^{″}(x_0)$或${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}}{|}_{x=x_0}$，称$f(x)$在$x_0$处二阶可导 若$y=f(x)$ 在区间$I$上点点二阶可导，则有二阶导函数$f^{″}(x)$或${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}}$

二阶微分（补充）

定义

符号${\mathrm{d}}^{2}y$表示函数$y=f(x)$的二阶微分，${\mathrm{d}}^{2}y=f^{″}(x)\mathrm{d}{x}^2$

• 符号$\mathrm{d}{x}^2$即为$(\mathrm{d}x{)}^2$
  • 与$\mathrm{d}(x^2)=2x\mathrm{d}x$不同
  • ${\mathrm{d}}^{2}x=0$表示对$x$求二阶导
• ${\mathrm{d}}^{2}y=\mathrm{d}(\mathrm{d}y)=\mathrm{d}(f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=(f^{\prime }(x)\mathrm{d}x)\mathrm{d}x=f^{″}(x)\mathrm{d}{x}^2$
• 二阶导数也可视为二阶微分${\mathrm{d}}^{2}y$与$\mathrm{d}{x}^2$的比值

一阶微分的不变性

若$y=f(u)$，u为自变量，则微分$\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$ 若$u$为中间变量，$x$为自变量，即$y=f(u(x))$ 由复合函数求导，有$(f(u(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(u)u^{\prime }(x)$ 微分$\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)u^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$ 无论u是中间变量还是自变量， 均有$\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$ 称为一阶微分的不变性

• 此时可真正理解链式法则公式 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}}$

现在考虑二阶微分

若$y=f(u)$，$u$为自变量，则二阶微分${\mathrm{d}}^{2}y=f^{″}(u)\mathrm{d}{u}^2$ 若$u$为中间变量，$x$为自变量，即$y=f(u(x))$ 由复合函数求导，有$(f(u(x)){)}^{″}=(f^{\prime }(u)u^{\prime }(x){)}^{\prime }=f^{″}(u)(u^{\prime }(x){)}^2+f^{\prime }(u)u^{″}(x)$ 此时，二阶微分${\mathrm{d}}^{2}y=(f^{″}(u)(u^{\prime }(x){)}^2+f^{\prime }(u)u^{″}(x))\mathrm{d}{x}^2$ 即${\mathrm{d}}^{2}y=f^{″}(u)\mathrm{d}{u}^2+f^{\prime }(u){\mathrm{d}}^{2}u$${\mathrm{d}}^{2}y\ne f^{″}(u)\mathrm{d}u$

高阶导数

定义

设函数$y=f(x)$在点$x_0$某邻域内有$n-1$阶导数$f^{(n-1)}(x)$ 若$f^{(n-1)}(x)$在$x_0$处仍可导，则称$n$阶导数

n阶连续可导

若$f^{(n)}(x)$在区间$I$上连续 则称$f(x)$在区间$I$上$n$阶连续可导 记为$f(x)\in C^n(I)$

• 需要满足小于$n$阶都连续可导
• 若$f(x)$在区间$I$上无限阶可导，记为$f(x)\in C^{\mathrm{\infty }}(I)$
• $n$ 阶可导 $⟺n-1$ 阶连续可导
  • 洛必达法则中 $n$ 阶导的问题
  • 某次大课的证明上使用过
  • 小班课注意事项

高阶导数运算法则

若函数$u(x),v(x)$在区间$I$上$n$阶可导，则

1. $$[\alpha u(x)+\beta v(x){]}^{(n)}=\alpha u^{(n)}(x)+\beta v^{(n)}(x)$$
2. 莱布尼茨公式$$[u(x)v(x){]}^{(u)}=\sum _{k=0}^n{\mathrm{C}}_n^k{u}^{(k)}(x)v^{(n-k)}(x)$$

• 常用公式
  • $(a^x{)}^{(n)}=a^x{\ln }^{n}a$
  • $[\sin (kx+a){]}^{(n)}=k^n\sin (kx+a+{\displaystyle \frac{n\pi }{2}})$
  • $[\cos (kx+a){]}^{(n)}=k^n\cos (kx+a+{\displaystyle \frac{n\pi }{2}})$
  • $(x^{\mu }{)}^{(n)}=\mu (\mu -1)\cdots (\mu -n+1)x^{\mu -n}$
  • $({\log }_{a}x{)}^{(n)}={\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!}{x^n\ln a}}$

高阶导数运算方法

数学归纳法

递推公式法

• 当高阶导数无法直接求出，可先考虑求出导数的递推公式
  • 先求前几阶的导数关系
  • 将等式化为左右同时求导，能得到一般递推关系
  • 例子见[[2023-10-20 例题2]]

隐函数的高阶导数

同定义

• 方法一 先算一阶导，继续求导
  • 一阶导右侧的$y$继续求导，得到的是一阶导，注意代入
• 方法二 视$y$为隐函数$y(x)$
  • 对$F(x,y(x))=0$两边关于$x$求导两次

参数方程的高阶导数

法则同上 对于参数方程$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},y^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}}$

$$\begin{array}{rl}{y}^{″}(x)& ={\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\left({\displaystyle \frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}}\right)\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\left({\displaystyle \frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}}\right)}^{\prime }}{x^{\prime }(t)}}\\ & ={\displaystyle \frac{y^{″}(t)x^{\prime }(t)-x^{″}(t)y^{\prime }(t)}{[x^{\prime }(t){]}^3}}\end{array}$$

不需要特别记住