导数四则运算

定理

若$u(x),v(x)$可导，则其和差积商（分母不为$0$）仍可导

• $[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$
• $[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$
• ${\left[{\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}\right]}^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}}$

推论1

若$u_1(x),u_2(x),\cdots ,u_n(x)$均可导，则它们的乘积也可导

• $[u_1(x)u_2(x)\cdots u_n(x){]}^{\prime }=u_1^{\prime }(x)u_2(x)\cdots u_n(x)+u_1(x)u_2^{\prime }(x)\cdots u_n(x)+\cdots +u_1(x)u_2(x)\cdots u_n^{\prime }(x)$

推论2

复合函数的导数

定理

设函数$u=g(x)$在$x$处可导，函数$y=f(u)$在对应$x$的$u$处可导， 则复合函数$y=f[g(x)]$在$x$处可导， 且${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=f^{\prime }[g(x)]\cdot g^{\prime }(x)$， 亦为${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}}$

• 先求导再赋值
• 证明
  • 由$y=f(u)$可导，有$\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(u)\mathrm{\Delta }u+\alpha (\mathrm{\Delta }u)\mathrm{\Delta }u$
    • $\alpha (0)$未定义，但不影响
    • 令$\alpha (0)=0$
  • $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{f}^{\prime }(u){\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}}+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\alpha (\mathrm{\Delta }u){\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}}$
  • 当$\mathrm{\Delta }x\to 0$时，$\mathrm{\Delta }u\to 0$，且${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}}\to g^{\prime }(x)$
  • 当$\mathrm{\Delta }u\to 0$时，$\alpha (\mathrm{\Delta }u)\to 0$
  • $\therefore {\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)$
• 链式法则
  • 求导时，应变量对中间变量求导，再乘以中间变量对自变量求导
  • 求导构成链式结构
  • 对多重复合函数也类似
• ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}}$不可直接化约来证明^一阶微分形式的不变性[与一阶微分形式的不变性有关]
• 对数求导法（对于幂指函数）
  • 两边对$x$求导
  • $(\ln y{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{y^{\prime }}{y}}$

复合函数的微分

复合函数$y=f(g(x))$，则$\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$ 为复合函数的微分法则

• 一阶微分形式的不变性

反函数的导数

定理

若$x=f(y)$在区间$I$上可导，且$f^{\prime }(y)\ne 0$ 则其反函数$y=f^{-1}(x)$在对应点也可导 且$(f^{-1}{)}^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(y)}}$ 亦为${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}}}$

• 证明
  • 由于$f[f^{-1}]=$

导数与导数的极限

导函数的极限并非某点的导数