8.3 偏导数

Summary

https://zhuanlan.zhihu.com/p/110305413

由于多元函数的自变量多于一个, 偏导数指的是多元函数对某一自变量的变化率

概念

定义 (以二元函数为例)

设 $z=f(x,y),(x,y)\in D$, $f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义, 固定 $y=y_0$, 仅给 $x_0$ 以增量, 则函数有增量 (函数对 $x$ 的偏增量)

$${\mathrm{\Delta }}_{x}z=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)$$

若极限

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{\Delta }}_{x}z}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

存在, 则称此极限为二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0$ 处对 $x$ 的偏导数, 记为

$$\begin{array}{c}{f}_x(x_0,y_0),{\frac{\partial f}{\partial x}|}_{(x_0,y_0)}\\ z_x(x_0,y_0),{\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(x_0,y_0)}\end{array}$$

类似有对 $y$ 的偏导数

$$\begin{array}{c}{f}_y(x_0,y_0),{\frac{\partial f}{\partial y}|}_{(x_0,y_0)}\\ z_y(x_0,y_0),{\frac{\partial z}{\partial y}|}_{(x_0,y_0)}\end{array}$$

若 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 两个偏导数存在, 则称函数 $z=f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 是可偏导的.

若二元函数 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 上每一点 $(x,y)$ 都存在偏导数, 那么这些偏导数是 $D$ 上的二元函数, 称之为偏导函数, 简称为偏导数, 简记为

$$f_x,f_y,\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$$

二元函数在 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数就是把 $y$ 固定时, 一元函数 $\phi (x)=f(x,y_0)$ 在 $x_0$ 处的导数; 对于 $y$ 同理

$$\begin{array}{c}\phi (x)=f(x,y_0),\psi (y)=f(x_0,y)\\ \\ f_x(x_0,y_0)={\phi }^{\prime }(x_0)\\ f_y(x_0,y_0)={\psi }^{\prime }(y_0)\end{array}$$

偏导与连续

多元函数中, 连续并非可偏导的必要条件

• 偏导条件较弱

可偏导不连续

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{xy}{x^2+y^2}},& (x,y),\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=0\end{array}$$

在原点不连续, 但偏导存在: 在 $x=0$ 或 $y=0$ 恒等于零

不连续不可偏导 取任意一个不连续不可导的一元函数

几何意义

在空间直角坐标系中, 二元函数 $z=f(x,y),(x,y)\in D$ 的图形一般是个曲面, 若取定 $y=y_0$, 得到平面和曲面的交线, 为平面 $y=y_0$ 上的一条曲线 $z=f(x,y_0)$. 某点处对 $x$ 的偏导即为上述曲线上一点的切线关于 $x$ 轴的斜率.

高阶偏导数

设函数 $z=f(x,y)$ 在 $P(x,y)$ 的某邻域内有偏导函数 $f_x(x,y),f_y(x,y)$, 它们仍是二元函数 若它们在点 $P$ 处对于自变量 $x,y$ 的偏导数都存在, 则把这些偏导数成为函数的二阶偏导数 一共有四个:

$$\begin{array}{rlr}{f}_{xx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)& & f_{xy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\\ f_{yx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)& & f_{yy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\end{array}$$

其中 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}},{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}$ 称为二阶混合偏导数

类似有三阶偏导数 $f_{x^{2}y},f_{x{y}^2}$ 等

二阶及以上的偏导数称为高阶偏导数

混合偏导数相等的充分条件

若函数 $f(x,y)$ 的两个二阶偏导数在点 $(x,y)$ 处连续, 则

$$f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$$