3.2 二维随机变量的条件分布

二维离散型随机变量的条件分布

设有⼆维离散型随机变量 $(X,Y)$

对于固定的 $j$, 若 $P(Y=y_j)>0$, 则在 $\{Y=y_j\}$ 的条件下 $X$ 的条件分布律为

$$P(X=x_i\mid Y=y_j)={\displaystyle \frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}}={\displaystyle \frac{p_{ij}}{p_{\bullet j}}},i=1,2,\cdots$$

• $P(Y=y_j)$ 即边缘分布律: 分布律表格中将 $Y=y_j$ 一列的概率全部相加

对于固定的 $i$, 若 $P(X=x_i)>0$, 则在 $\{X=x_i\}$ 的条件下 $Y$ 的条件分布律为

$$P(Y=y_j\mid X=x_i)={\displaystyle \frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(X=x_i)}}={\displaystyle \frac{p_{ij}}{p_{i\bullet }}},j=1,2,\cdots$$

• $P(X=x_i)$ 即边缘分布律: 分布律表格中将 $X=x_i$ 一行的概率全部相加

性质

满足概率分布律的性质

1. $$P(X=x_i\mid Y=y_j)\ge 0$$
2. $${\displaystyle \sum _{i}P(X=x_i\mid Y=y_j)=\sum _i{\displaystyle \frac{p_{ij}}{p_{\bullet j}}}={\displaystyle \frac{1}{p_{\bullet j}}}\sum _i{p}_{ij}=1}$$
3. 乘法公式$$P(X=x_i,Y=y_j)=P(Y=y_j)P(X=x_i\mid Y=y_j),i,j=1,2,\cdots$$
4. 全概率公式$$P(X=x_i)=\sum _{j}P(Y=y_j)P(X=x_i\mid Y=y_j),i=1,2,\cdots$$

⼆维连续型随机变量的条件分布

设⼆维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度为 $f(x,y)$, $X,Y$ 的边缘概率密度分别为 $f_X(x),f_Y(y)$

示意图

top = 4; bottom = 2
---
f(x) = \{x\le3:3\}|black
g(x) = \{x\le 3:2.9\}|black
g(x)<y<f(x)
(3.6, 2.95)|hidden|label: 𝞓y→0|black
(2.8, 3.3)|hidden|label: Y=y 条件下 X 的条件概率|black

当 $f_Y(y)>0$, 在 $\{Y=y\}$ 的条件下 $X$ 的条件概率密度为

$$f_{X|Y}(x\mid y)={\displaystyle \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}},-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$$

在 $\{Y=y\}$ 的条件下 $X$ 的条件分布函数为

$$F_{X|Y}(x\mid y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\displaystyle \frac{f(u,y)}{f_Y(y)}}\mathrm{d}u,-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$$

当 $f_X(x)>0$, 在 $\{X=x\}$ 的条件下 $Y$ 的条件概率密度为

$$f_{Y|X}(y\mid x)={\displaystyle \frac{f(x,y)}{f_X(x)}},-\mathrm{\infty }<y<+\mathrm{\infty }$$

在 $\{X=x\}$ 的条件下 $Y$ 的条件分布函数为

$$F_{Y|X}(y\mid x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^y{\displaystyle \frac{f(x,v)}{f_X(x)}}\mathrm{d}v,-\mathrm{\infty }<y<+\mathrm{\infty }$$

性质

1. 类似乘法公式$$\begin{array}{rl}f(x,y)& =f_X(x)f_{Y|X}(y\mid x)f_X(x)>0\\ & =f_Y(y)f_{X|Y}(x\mid y)f_Y(y)>0\end{array}$$
2. 类似全概率公式$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}y={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_{X|Y}(x\mid y)\cdot f_Y(y)\mathrm{d}y\\ f_Y(y)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_{Y|X}(y\mid x)\cdot f_X(x)\mathrm{d}x\end{array}$$
3. 类似 Bayes 公式$$\begin{array}{rl}{f}_{X\mid Y}(x\mid y)& ={\displaystyle \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}}={\displaystyle \frac{f_{Y\mid X}(y\mid x)\cdot f_X(x)}{f_Y(y)}}\\ f_{Y\mid X}(y\mid x)& ={\displaystyle \frac{f(x,y)}{f_X(x)}}={\displaystyle \frac{f_{X\mid Y}(x\mid y)\cdot f_Y(y)}{f_X(x)}}\end{array}$$