Kurage Notes

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夹逼定理 ​

定理 ​

设数列{xn},{yn},{zn},若∃N∈N,当n>N时,zn≤xn≤yn,且limn→∞zn=limn→∞yn=A则limn→∞xn=A

  • 证明
    • 由limn→∞yn=A,∀ε>0,∃N1,当n>N1时,|yn−A|<ε,∴yn<A+ε由limn→∞zn=A,对同样的ε,∃N2,当n>N2时,|zn−A|<ε,∴zn>A−ε
  • 对原有数列放缩，使得两个放缩后的数列极限一致

推论 ​

设数列{xn},{yn},若∃N∈N,当n>N时,0≤xn≤yn,且limn→∞yn=0则limn→∞xn=0

  • ->可以用在构造法中

单调有界数列极限存在定理 ​

定理 ​

若数列{xn}单调增加（减少）且有上界（下界），则{xn}收敛

  • 无需求出极限则可证明存在
  • 证明
    • 设{xn}单调增加且有上界M,则{xn}必有上确界A∀ε>0,∃N,使得xN>A−ε,∀n>N,A>xn≥xN>A−ε由极限定义,{xn}极限为A

递归数列求解极限 ​

  1. 将数列用递归公式表示出来，称为递归数列
    • xn+1=f(xn)
  2. 证明数列单调性及有界性，从而得到数列收敛性
    • 通常可以使用数学归纳法
    • 指：疯狂按计算器
  3. 利用递归公式求极限
    • 设limn→∞xn=A对等式两端同时取极限A=limn→∞xn+1=limn→∞f(xn)=f(A)得到关于A的方程,从而解出A

自然常数e ​

定义 ​

e=limn→∞(1+1n)n

区间套定理 ​

若[an+1,bn+1]⊂[an,bn],∀n∈N+,且有limn→∞(bn−an)=0则存在唯一实数ξ,∀n∈N+,有an≤ξ≤bn,换言之,ξ∈⋂n=1∞[an,bn]

压缩映像原理 ​

![[2023-09-22 例题5 压缩映像原理]]