8.6 方向导数和梯度

Summary

方向导数计算公式 二维: 若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微, $\mathit{l}$ 的方向余弦为 $\cos \alpha ,\cos \beta$, 则函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处沿方向 $\mathit{l}$ 的方向导数存在, 且

$${{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \mathit{l}}}|}_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta$$

• ${\mathit{l}}^0=(\cos \alpha ,\cos \beta )$ 三维:

$${{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \mathit{l}}}|}_{(x_0,y_0,z_0)}=f_x(x_0,y_0,z_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0,z_0)\cos \beta +f_z(x_0,y_0,z_0)\cos \gamma$$

梯度

$$\mathrm{\nabla }=({\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}},{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}})$$

方向导数

需要考虑其他方向上函数的变化率

定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的邻域内有定义, $\mathit{l}$ 为非零向量, 其方向余弦为 $\cos \alpha ,\cos \beta$, 若极限

$$\underset{t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}}$$

TJU 教材为 $\underset{t\to 0_{+}}{lim}$, 本书为两侧接近

存在, 则称该极限值为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处沿方向 $\mathit{l}$ 的方向导数 (函数在该点沿这一方向的变化率)

• $\mathit{l}$ 计算时需要单位化, ${\mathit{l}}^0=(\cos \alpha ,\cos \beta )$

记作

$${{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \mathit{l}}}|}_{(x_0,y_0)},{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathit{l}}}|}_{(x_0,y_0)}$$

其他维数的情况

三维: $\mathit{l}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$, $$\cos^2\alpha + \cos^2\beta+\cos^2\gamma =1 $$ 高维:

充分条件和公式

若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微, $\mathit{l}$ 的方向余弦为 $\cos \alpha ,\cos \beta$, 则函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处沿方向 $\mathit{l}$ 的方向导数存在, 且

$${{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \mathit{l}}}|}_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta$$

三维:

$${{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \mathit{l}}}|}_{(x_0,y_0,z_0)}=f_x(x_0,y_0,z_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0,z_0)\cos \beta +f_z(x_0,y_0,z_0)\cos \gamma$$

梯度

函数沿什么方向的方向导数最大?

定义

若函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微, 则称向量

$$(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$$

为函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的梯度 记为

$$\mathrm{grad}f{|}_{(x_0,,y_0)},\mathrm{grad}f(x_0,y_0),\mathrm{\nabla }f{|}_{(x_0,y_0)},\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)$$

$\mathrm{\nabla }=({\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}},{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}})$ 为向量微分算子或哈密顿 (Hamilton) 算子

最优化: 梯度下降算法

$${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}}=-\mathrm{\nabla }f(\theta )$$

函数下降最快的方向

梯度与方向导数最大值

$$\begin{array}{rl}{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathit{l}}}|}_{(x_0,y_0)}& =f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta \\ & =(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))\cdot (\cos \alpha ,\cos \beta )\\ & =\mathrm{\nabla }f\cdot {\mathit{l}}^0\end{array}$$

记 $\phi =(\widehat{\mathrm{\nabla }f,{\mathit{l}}^0})=(\widehat{\mathrm{\nabla }f,\mathit{l}})$,

$${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathit{l}}}=\mathrm{\nabla }f\cdot {\mathit{l}}^0=|\mathrm{\nabla }f||{\mathit{l}}^0|\cos \phi ⟹\{\begin{array}{l}\phi =0,max{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathit{l}}}=|\mathrm{\nabla }f|\\ \phi =\pi ,min{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathit{l}}}=-|\mathrm{\nabla }f|\end{array}$$

向量微分算子运算法则

1. 线性性$$\mathrm{\nabla }(c_{1}u+c_{2}v)=c_1\mathrm{\nabla }u+c_2\mathrm{\nabla }v(c_1,c_2\in \mathbb{R})$$
2. 乘法性质$$\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }(uv)=v\mathrm{\nabla }u+u\mathrm{\nabla }v\\ \mathrm{\nabla }\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\mathrm{\nabla }u-u\mathrm{\nabla }v}{v^2}(u\ne 0)\end{array}$$
3. 链式法则 $u=u(x,y),v=v(x,y)$$$\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }(f(u))=f^{\prime }(u)\mathrm{\nabla }u\\ \mathrm{\nabla }(g(u,v))=g_u\mathrm{\nabla }u+g_v\mathrm{\nabla }v\end{array}$$