8.4 全微分

同一元函数的微分, 需要讨论函数增量的线性主部, 从而给出全微分的定义

全微分的概念

设函数 $z=f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域有定义, 若它在该点处的全增量

$$\mathrm{\Delta }z=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)$$

可以表示为

$$\mathrm{\Delta }z=A\cdot \mathrm{\Delta }x+B\cdot \mathrm{\Delta }y+o(\rho )$$

其中 $A,B$ 为与 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$ 无关的常数, $\rho ={\displaystyle \sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}}$, 则称 $A\cdot \mathrm{\Delta }x+B\cdot \mathrm{\Delta }y$ 为函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处的全微分, 即

$$\mathrm{d}z{|}_{(x_0,y_0)}=\mathrm{d}f{|}_{(x_0,y_0)}=A\cdot \mathrm{\Delta }x+B\cdot \mathrm{\Delta }y$$

由于 $o(\rho )$ 为 $(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)$ 时的无穷小, 全微分是函数在某一点处全增量 $\mathrm{\Delta }z$ 关于 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$ 的线性近似

证明: 拉格朗日补项

可微必连续

若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微, 则

$$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\mathrm{\Delta }y\to 0}}{lim}\mathrm{\Delta }z=0$$

即在该点处连续.

二元函数连续是其可微的必要条件

可微与可偏导的关系

可微必可偏导

若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微, 即有

$$\mathrm{\Delta }z=A\cdot \mathrm{\Delta }x+B\cdot \mathrm{\Delta }y+o(\rho )$$

则函数 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的两个偏导数均存在, 且

$$A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0)$$

规定微分为 $\mathrm{d}x=\mathrm{\Delta }x,\mathrm{d}y=\mathrm{\Delta }y$, 函数在 $(x_0,y_0)$ 的全微分为

$$\mathrm{d}z{|}_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\mathrm{d}x+f_y(x_0,y_0)\mathrm{d}y$$

若函数 $f$ 在区域 $D$ 每一点都可微, 则称 $f$ 是 $D$ 内的可微函数

$$\mathrm{d}z=f_x(x,y)\mathrm{d}x+f_y(x,y)\mathrm{d}y$$

偏导连续则函数可微

若函数 $z=f(x,y)$ 的两个一阶偏导数在 $(x_0,y_0)$ 连续, 则它在该点是可微的

全微分的几何意义

平面近似

全微分为全增量的线性近似,

$$\mathrm{d}z=f_x(x_0,y_0)\cdot \mathrm{\Delta }x+f_y(x_0,y_0)\cdot \mathrm{\Delta }y$$

当 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$ 充分小, 有 $\mathrm{\Delta }z\approx \mathrm{d}z$, 可得 全微分的近似计算公式

$$f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\cdot (x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)$$

从几何上, 令 $z_0=f(x_0,y_0)$, 则曲面 $S:z=f(x,y)$ 可以在 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 点用平面近似

$$\pi :z=z_0+f_x(x_0,y_0)\cdot (x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)$$

切平面

偏导数在平面 $y=y_0$ 和 $x=x_0$ 确定的两条切线

$$l_1:\{\begin{array}{l}z-z_0=f_x(x_0,y_0)\cdot (x-x_0\\ y=y_0)\end{array}{l}_2:\{\begin{array}{l}z-z_0=f_y(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)\\ x=x_0\end{array}$$

这两条切线确定了曲线在该点的切平面 $\pi$