9.1 重积分的概念与性质

二重积分和三重积分的概念

二重积分定义

设 $D$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 上的一个有界闭区域, 函数 $f(x,y)$ 为 $D$ 上有界函数, 若 $\mathrm{\exists }I\in \mathbb{R}$, 对区域 $D$ 作任意分划: $\mathrm{\Delta }{D}_1,\mathrm{\Delta }{D}_2,\cdots ,\mathrm{\Delta }{D}_n$ (即用任意曲线网将 $D$ 分成小区域), 以及 $\mathrm{\forall }({\xi }_i,{\eta }_i)\in \mathrm{\Delta }{D}_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 和式有极限

$$\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i(\mathrm{\Delta }{\sigma }_i\text{ 为 }\mathrm{\Delta }{D}_i\text{ 的面积})=I$$

其中 $\lambda =\underset{1\le i\le n}{max}\{d_i\}$ ($d_i$ 为 $\mathrm{\Delta }{D}_i$ 的直径) 则称函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积, 记作 $f\in R(D)$ 极限值 $I$ 称为 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的二重积分, 记作

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$$

• $D$ 积分区域
• $f(x,y)$ 被积函数
• $\mathrm{d}\sigma$ 面积微元
• $\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$ 二重积分和 (黎曼和)

三重积分定义

重积分的性质

线性性

若 $f(x,y)\in R(D),g(x,y)\in R(D)$, $\alpha ,\beta$ 为常数, 则 $\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)\in R(D)$, 且

$$\underset{D}{\iint }[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\mathrm{d}\sigma =\alpha \underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma +\beta \underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

积分区域可加性

设 $D=D_1\cup D_2$, 且区域 $D_1$ 与 $D_2$ 无公共内点, 则

$$f(x,y)\in R(D)⟺f(x,y)\in R(D_1)\wedge f(x,y)\in R(D_2)$$

且有

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{D_1}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma +\underset{D_2}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

保序性

若 $f(x,y)\in R(D),g(x,y)\in R(D)$, 且

$$f(x,y)\le g(x,y),(x,y)\in D$$

则

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le \underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

推论1 (保号性)

若 $f(x,y)\in R(D)$, 且 $f(x,y)\ge 0,(x,y)\in D$, 则

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \ge 0$$

推论2 (重积分形式绝对值不等式)

若 $f(x,y)\in R(D)$, 则 $|f(x,y)|\in R(D)$, 且

$$|\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma |\le \underset{D}{\iint }|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$$

推论3 (估值不等式)

若 $f(x,y)\in R(D)$, 且 $m\le f(x,y)\le M,(x,y)\in D$, 则2

$$m{A}_D\le \underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le M{A}_D$$

• $A_D$ 积分区域 $D$ 的面积

积分中值定理

若 $f(x,y)\in C(D),g(x,y)\in R(D)$, 且 $g(x,y)$ 在 $D$ 上不变号, 则 $\mathrm{\exists }(\xi ,\eta )\in D$, s.t.

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)g(x,y)\mathrm{d}\sigma =f(\xi ,\eta )\underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

特别地, 当 $g(x,y)\equiv 1$ 时, 有

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =f(\xi ,\eta )A_D$$

即

$$f(\xi ,\eta )={\displaystyle \frac{{\displaystyle \underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma }}{A_D}}$$

称 $f(\xi ,\eta )$ 为 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的平均值