4.1 数学期望

数学期望的概念

离散型随机变量的期望

设离散型随机变量 $X$ 的分布律为

$$\overline{)\begin{array}{cccccc}X& x_1& x_2& \cdots & x_k& \dots \\ P& p_1& p_2& \dots & p_k& \cdots \end{array}}$$

若级数 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{x}_k{p}_k}$ 绝对收敛, 即 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\left|x_k\right|p_k<+\mathrm{\infty }}$, 则随机变量 $X$ 的数学期望 (均值) 为

$$E(X)=\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{x}_k{p}_k$$

• 若级数不绝对收敛，则数学期望不存在

连续型随机变量的期望

设 $X$ 为连续型随机变量, 其概率密度为 $f(x)$

若 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}xf(x)\mathrm{d}x}$ 绝对收敛, 即 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|x|f(x)\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty }}$, 则随机变量 $X$ 的数学期望 (均值) 为

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}xf(x)\mathrm{d}x$$

• 若积分不绝对收敛，则数学期望不存在

对于联合概率分布的单变量期望

先求出边缘概率分布

$$f_X(x)=F_X^{\prime }(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}y$$

再利用公式求出 $E(X)$

数学期望的性质

存在性充要条件

设 $X$ 是任意随机变量, 则 $X$ 的数学期望存在的充要条件是

$$E(|X|)<+\mathrm{\infty }$$

• 有界收敛

有序性

设 $X,Y$ 是任意两个数学期望存在的随机变量, 且 $X\le Y$, 则

$$E(X)\le E(Y)$$

若存在数 $a$ 使得 $P(X\ge a)=1$, 则

$$E(X)\ge a$$

若存在数 $b$ 使得 $P(X\le b)=1$, 则

$$E(X)\le b$$

常数的数学期望

设 $C$ 为常数, 则 $E(C)=C$

线性性

设 $X$ 是任意满足 $E(|X|)<+\mathrm{\infty }$ 的随机变量, $C$ 是任意常数, 则

$$E(CX)=CE(X)$$

设 $X,Y$ 是任意两个数学期望存在的随机变量, 则 $X+Y$ 的数学期望也存在, 且

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$

• 可适用于任意线性组合

正向可乘性

设 $X,Y$ 是相互独立的两个数学期望存在的随机变量, 则 $XY$ 的数学期望也存在, 且

$$E(XY)=E(X)E(Y)$$

• 逆命题不成立

柯西－施瓦茨不等式

$$E^2(XY)\le E\left(X^2\right)E\left(Y^2\right)$$

当 $E\left(X^2\right)>0,E\left(Y^2\right)>0$, iff $P(Y=t_{0}X)=1$ 时, 等式成立

随机变量函数的数学期望

本质上是对变量的函数值进行期望运算

一维随机变量

设 $X$ 为随机变量, $Y=g(X)$, 其中 $g(x)$ 是一个确定函数

离散型

设 $X$ 为离散型随机变量, 其分布律为 $P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots$,

若级数 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}g\left(x_k\right)p_k}$ 绝对收敛, 则

$$E(Y)=E(g(X))=\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}g\left(x_k\right)p_k$$

连续型

设 $X$ 为连续型随机变量, 其概率密度为 $f(x)$,

若积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g(x)f(x)\mathrm{d}x}$ 绝对收敛, 则

$$E(Y)=E(g(X))={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g(x)f(x)\mathrm{d}x$$

二维随机变量

设 $X,Y$ 为随机变量, $Z=g(X,Y)$, 其中 $g(x,y)$ 是一个确定函数

离散型

设 $(X,Y)$ 为离散型随机变量, 其分布律为 $P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij},i,j=1,2,\cdots$,

若级数 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{+\mathrm{\infty }}g(x_i,y_j)p_{ij}}$ 绝对收敛, 则

$$E(Z)=E(g(X,Y))=\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{+\mathrm{\infty }}g(x_i,y_j)p_{ij}$$

连续型

设 $(X,Y)$ 为连续型随机变量, 其联合概率密度为 $f(x,y)$, 若积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g(x,y)f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$ 绝对收敛,

$$E(Z)=E(g(X,Y))={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g(x,y)f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$