8.2 多元函数的极限与连续

二元函数的极限

从任意方向逼近一定点，函数值趋于一个定值，则该定值为多元函数在该点处的极限

定义

设二元函数 $f:\mathring{U}\left(P_0\right)\to \mathbb{R}$, 若 $\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0$, s.t. 当 $0<d(P,P_0)<\delta$ 时,

$$|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<\epsilon ,$$

则称当 $P(x,y)\to P_0(x_0,y_0)$ 时, $f(x,y)$ 的 (二重) 极限为 $A$, 或 $f(x,y)$ 收敛于 $A$, 记为

$$\begin{array}{rl}\underset{P\to P_0}{lim}f(x,y)& =A\\ \underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{lim}f(x,y)& =A\\ \underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)& =A\end{array}$$

• $P\to P_0$ 如果收敛, 则极限值与趋近方式 (路径, 方向) 无关
  • 即: 若动点 $P$ 以两种不同方式趋于 $P_0$ 时, 极限值不同, 则在处不存在二重极限

常见特殊路径

• $x=0$ 或 $y=0$
• $y=kx$

常见证明极限不存在

• 思想: 使得一部分趋于无穷小时, 构造一个部分趋于无穷大

Example

讨论当 $x\to 0,y\to 0$时,

$$f(x)=\frac{xy}{x^2+y^2}$$

是否存在二重极限

• Solution. 取特殊路径 $y=kx$ 将二元函数化为一元函数, 考察一元函数的极限值是否随 $k$ 变化: 不存在
• 扩展: 是否存在路径, s.t. 极限趋于正无穷?
  • Solution. 考虑 A-G 不等式 $|xy|\le {\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+y^2)$$$|f|=\frac{|xy|}{x^2+y^2}\le \frac{1}{2}$$$f$ 是有界函数, 故不存在

Example

讨论当 $x\to 0,y\to 0$时,

$$f(x)=\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}$$

是否存在二重极限

• Solution. 即使取特殊路径 $y=kx$, $f(x)$ 也趋于零，但是取 $y=l{x}^2$ , $f(x)$ 趋于不同值, 故不存在极限
• 极限是否存在未知时, 特殊路径只能证伪
• 扩展: 这个函数也是有界的

求含有定义域的极限问题:

由于极限一定存在, 考虑定义域是否会影响接近极限的路径, 如果无影响, 任意取一条路径; 如果有影响 (对路径选取有限制), 则选取可用的路径

• 一元函数极限的性质可以移植到二元函数极限上
  • 唯一性
  • 局部有界性
  • 局部保号性
  • 夹逼性
  • 四则运算法则
• 计算二重极限常用方法
  • 特殊路径
  • 夹逼法
  • 四则运算
  • 换元法 (引入中间变量)

二重极限与二次 (累次) 极限

二重极限: $P\to P_0$, $x,y$ 同时趋于 $P_0(x_0,y_0)$二次极限: $x,y$ 依次不同时趋于 $x_0,y_0$

一般地:

$$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{lim}f(x,y)\ne \underset{y\to y_0}{lim}[\underset{x\to x_0}{lim}f(x,y)]\text{ （或 }\underset{y\to y_0}{lim}[\underset{x\to x_0}{lim}f(x,y)]\text{ ）}$$

二重极限存在而二次极限不存在

$$f(x,y)=x\sin \frac{1}{xy}$$

*二重极限存在，二次极限的首次极限存在，则二次极限存在，且等于二重极限

*多元函数极限极坐标方法

代入极坐标可能更容易化简

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array},r\ge 0$$$$(x,y)\to 0,r\to 0$$

可以化为

$$f(x,y)=g(r,\theta )=\varphi (\theta )\cdot \psi (r)$$

其中 $\varphi (\theta )$ 可能是一个有界量

二元函数的连续性

定义

类比 007极限与连续-函数的连续 一般定义 设二元函数 $f:U(P_0)\to \mathbb{R}$, 且 $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{lim}f(x,y)=f(x_0,y_0)$, 则称函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续, 也称 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的连续点 若不连续, 则称函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处间断, 也称 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的间断点

引入全增量定义

$$\mathrm{\Delta }f=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)$$

则函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续即为

$$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{lim}\mathrm{\Delta }f=0$$

"$\epsilon -\delta$ 语言"定义 $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0$, s.t. 当 $(x,y)\in D$ 且 $\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$ 时, 则函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续即为

$$|f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\epsilon$$

连续函数

如果二元函数 $f(x,y)$ 在平面区域 (或闭区域) $D$ 上每一点都连续, 则称 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续, 或者称 $f(x,y)$ 是 $D$ 上的连续函数，记为 $$f\in C(D)$$

• 二元连续函数的和差积商仍是连续函数
• 二元连续函数的复合函数是连续函数
• 二元初等函数在其定义域内都连续

连续性相关定理

有界性定理

若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续, 则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上有界, 即 $\mathrm{\exists }M>0$, 当 $(x,y)\in D$ 时, 恒有

$$|f(x,y)|\le M$$

最值定理

若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续, 则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上必取得最大值和最小值, 即 $\mathrm{\exists }(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in D$, s.t.

$$f(x_1,y_1)=\underset{D}{max}f(x,y),f(x_2,y_2)=\underset{D}{min}f(x,y)$$

介值定理

若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续, $M,m$ 分别是 $f$ 在 $D$ 上的最大值和最小值, $\mu \in (m,M)$, 则 $\mathrm{\exists }P(\xi ,\eta )\in D$, s.t.

$$f(\xi ,\eta )=\mu$$

零点存在定理 (介值定理推广)

*多元函数极限极坐标方法

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array},r\ge 0$$$$(x,y)\to 0,r\to 0$$