1.3 条件概率

条件概率

设 A, B 为两事件, P(A)>0, ，则事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率为

$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$

性质

与概率性质相同

• 非负性
• 归一型
• 可列可加性
• ...

与无条件概率关系

一般无确定关系

当 $B\subset A$

$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(B)}{P(A)}\ge P(B)$$

乘法公式

利用条件概率求积事件的概率

$$\begin{array}{rl}P(AB)& =P(A)P(B|A)(P(A)>0)\\ & =P(B)P(A|B)(P(B)>0)\end{array}$$

推广

$$P(A_1{A}_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)\cdots P(A_n|A_1{A}_2\cdots A_{n-1})(P(A_1{A}_2\cdots A_{n-1})>0)$$

全概率公式

若事件 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 满足

$$\bigcup _{i=1}^n{B}_i=\mathit{\Omega },B_i{B}_j=\varnothing$$

称上述事件组为完备事件组, 或样本空间 $\mathit{\Omega }$ 的一个划分

若事件 $A$ 落在样本空间内, 与划分中的任意一个 $B_i$ 都有可能有交集, 则事件 $A$ 的概率与划分有关

$$A=\bigcup _{i=1}^{n}A{B}_i,(A{B}_i)(A{B}_j)=\varnothing$$

则 $P(A)$ 的概率可由全概率公式给出 全概率公式

$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A{B}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)\cdot P(A|B_i)$$

• 对于 $A$ 的全体的概率被分解为多个部分之和
• 实用意义: 直接计算 $P(A)$ 较复杂, 但 $A$ 总是伴随某个 $B_i$ 出现, 构造划分简化计算
• 另一角度理解: 事件 $A$ 的发生由原因 $B_i$ 引起, 则 $P(A{B}_i)=P(B_i)P(A|B_i)$, 事件 $A$ 的全体为所有原因的总和

Bayes 公式

求条件概率: 已知结果求原因 某人从任一箱中任意摸出一球, 发现是红球, 求该球取自一号箱的概率. (该求取自哪号箱的可能性最大?)

观察到事件 $A$ 已发生的条件下, 寻找导致 $A$ 发生的每个原因的概率, 可由 Bayes 公式求出 Bayes 公式

$$\begin{array}{rl}P(B_k|A)={\displaystyle \frac{P(A{B}_k)}{P(A)}}& ={\displaystyle \frac{P(B_k)P(A|B_k)}{P(A)}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{P(B_k)P(A|B_k)}{{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)}}}\end{array}$$

• $P(B_i)$ 先验概率
  • 由以往经验得到
• $P(B_i|A)$ 后验概率
  • 得到信息: $A$ 发生的概率后, 对 $A$ 发生的原因的可能性大小进行修正