3.3 二维随机变量的独立性

定义

相互独立的二维随机变量 $(X,Y)$ 对任意 $x,y$ 都有

$$P(X\le x,Y\le y)=P(X\le x)P(Y\le y)$$

判定

离散型

$$p_{ij}=p_{i\bullet }\cdot p_{\bullet j},\mathrm{i}.\mathrm{e}.P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)\cdot P(Y=y_j)$$

连续型

$$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$$

对于两个相互独立的二维正态分布, 可以写成两个一维正态分布的乘积 (为边缘分布)

矩形域上的均匀分布, $X,Y$ 相互独立, 且其边缘分布也是均匀分布

判断是否独立

1. 求出 $X,Y$ 分别的边缘分布函数
2. 相乘, 与 $f(x,y)$ 比较

独立性定理

若联合概率密度分布函数 $f(x,y)$ 可以写成两个函数的乘积, 即

$$f(x,y)=r(x)\cdot g(y)$$

则 $X,Y$ 相互独立 且有

$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& ={\displaystyle \frac{r(x)}{{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}r(x)\mathrm{d}x}}}\\ f_Y(y)& ={\displaystyle \frac{g(y)}{{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g(y)\mathrm{d}y}}}\end{array}$$

• 理解: 分母对 $r(x)$ 进行归一化

对分布函数也成立

$$F(x,y)=R(x)\cdot G(y)$$

性质

$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& =f_{X|Y}(x\mid y),f_Y(y)>0\\ f_Y(y)& =f_{Y|X}(y\mid x),f_X(x)>0\end{array}$$

独立的二维随机变量的连续函数仍独立

设 $X,Y$ 为相互独立的二维随机变量, $u(x),v(y)$ 为连续函数, 则 $U=u(X),V=v(Y)$ 也相互独立