• 通过高阶导数相等的方法，用高阶多项式拟合函数，使得余项为一个无穷小量
  1. 找到 $n$ 次多项式 $P_n(x)$，满足 $P_n^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0)$
     • 设 $P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n,$
     • 则 $P_n^{(k)}(x)=a_{k}k!+a_{k+1}{\displaystyle \frac{(k+1)!}{1!}}(x-x_0)+\cdots +a_n{\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}}(x-x_0{)}^{n-k},$
     • 则 $P_n^{(k)}(x_0)=a_{k}k!,k=0,1,\cdots ,n,$
     • $\therefore a_{k}k!=f^{(k)}(x_0),a_k={\displaystyle \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}},k=0,1,\cdots ,n,$
     • 即
  $$\begin{array}{rl}{P}_n(x)& =f(x_0)+{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}}(x-x_0)+\cdots +{\displaystyle \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}}(x-x_0{)}^n\\ & =\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}(x-x_0{)}^k\end{array}$$
  2. 证明 $f(x)-P_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$
• 多项式 $P_n(x)$ 为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的泰勒多项式
• 系数 ${\displaystyle \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}(k=0,1,\cdots ,n)$ 称为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的泰勒系数

定理（泰勒定理1）

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内有定义（在 $x_0$ 的邻域内有 $n-1$ 阶导），在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数， 则

$$\begin{array}{rl}f(x)& =f(x_0)+{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}}(x-x_0)+{\displaystyle \frac{f^{″}(x_0)}{2!}}(x-x_0{)}^2+\cdots +{\displaystyle \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}}(x-x_0{)}^n\\ & +o((x-x_0{)}^n)\\ \\ & =\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}(x-x_0{)}^k+o((x-x_0{)}^n)\end{array}$$

• 带佩亚诺 (peano) 余项的 $n$ 阶泰勒公式
  • $R_n(x)=o(x-x_0{)}^n$
• 对函数本身进行近似拟合

定理（泰勒定理2）

设函数 $f(x)$ 在含 $x_0$ 的开区间 $(a,b)$ 内有 $n+1$ 阶导数， 则在 $(a,b)$ 上，

$$\begin{array}{rl}f(x)& =f(x_0)+{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}}(x-x_0)+{\displaystyle \frac{f^{″}(x_0)}{2!}}(x-x_0{)}^2+\cdots +{\displaystyle \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}}(x-x_0{)}^n\\ & +{\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_0{)}^{n+1}\\ \\ & =\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}(x-x_0{)}^k+{\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_0{)}^{n+1},(\xi \mathrm{介}\mathrm{于}{x}_0\mathrm{与}x\mathrm{之}\mathrm{间})\end{array}$$

• 称为带拉格朗日 (Lagrange) 余项的 $n$ 阶泰勒公式
  • $R_n(x)={\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_0{)}^{n+1},(\xi \mathrm{介}\mathrm{于}{x}_0\mathrm{与}x\mathrm{之}\mathrm{间})$
  • 由于 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，可以表示成 $x_0+\theta (x-x_0)(0<\theta <1)$ 的形式
• 对近似函数的误差进行估计
  • 余项有定量分析

在某点处进行泰勒展开

将该点 $a$ 与 $x$ 进行替换

$$\begin{array}{rl}f(a)& =f(x)+{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{1!}}(a-x)+{\displaystyle \frac{f^{″}(x)}{2!}}(a-x{)}^2+\cdots +{\displaystyle \frac{f^{(n)}(x)}{n!}}(a-x{)}^n\\ & +{\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(a-x{)}^{n+1}\end{array}$$

麦克劳林公式

当 $x_0=0$ 时，泰勒公式化为

$$\begin{array}{rl}f(x)& =f(0)+f^{\prime }(0)x+{\displaystyle \frac{f^{″}(0)}{2!}}{x}^2+\cdots +{\displaystyle \frac{f^{(n)}(0)}{n!}}{x}^n+R_n(x)\\ \\ & =\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!}}{x}^k+R_n(x)\\ \\ R_n& =\{\begin{array}{l}o(x^n),\\ \\ {\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x{)}^{n+1},(\xi \mathrm{介}\mathrm{于}0\mathrm{与}x\mathrm{之}\mathrm{间})\end{array}\end{array}$$

• 将复杂函数化为一组简单幂函数之和
• 由于 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间，可以表示成 $\theta x(0<\theta <1)$ 的形式

常用麦克劳林公式

• $e^x=1+{\displaystyle \frac{x}{1!}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}+{\displaystyle \frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}}{x}^{n+1}$
• $\sin x=x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{x^5}{5!}}+\cdots +(-1{)}^{n-1}{\displaystyle \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}}+(-1{)}^n{\displaystyle \frac{\cos \theta x}{(2n+1)!}}{x}^{2n+1}$
  • $2n$ 阶
• $\cos x=1-{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{x^4}{4!}}+\cdots +(-1{)}^n{\displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!}}+(-1{)}^{n+1}{\displaystyle \frac{\cos \theta x}{(2n+2)!}}{x}^{2n+1}$
  • $2n$ 阶
• $\ln (1+x)=x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-\cdots +(-1{)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{n}}{x}^n+(-1{)}^n{\displaystyle \frac{1}{(1+n)(1+\theta x{)}^{n+1}}}{x}^{n+1}$
  • $x>-1$
• $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+{\displaystyle \frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}}{x}^2+\cdots +{\displaystyle \frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}{x}^n+{\displaystyle \frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}{(n+1)!}}(1+\theta x{)}^{\alpha -n-1}{x}^{n+1}$
  • $x>-1$
• ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}=1+x+x^2+\cdots +x^n+{\displaystyle \frac{1}{(1-\theta x{)}^{n+2}}}{x}^{n+1}$

运用

• 近似计算
• $f(x)=g(x)+h(x)$ ，求 $f^{(k)}(0)$ 及类似问题
  • 对两边分别作麦克劳林展开，使得两边 $x^k$ 项系数相等
  • 见[[2023-10-27 例题3]] 题2
• 计算 $k$ 阶无穷小
• $x_0\ne 0$ 时，可以通过代换，使用麦克劳林公式得到该点处的泰勒公式
• 求极限用皮亚诺，证明题一般要用拉格朗日余项
• 对 ${\displaystyle \frac{0}{0(+0)}},{\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$ 型未定式求极限 ^2d2559
  • 上下进行泰勒展开，消去 $+0$ 项
  • 如 $x-\sin x=x-(x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+o(x^3))\sim {\displaystyle \frac{x^3}{3!}}$
  • 通过前一个展开得到的最高次数确定另一个展开到几次
• 研究函数形态
  • 例 利用泰勒展开含有不等于零的余项，证明不等式
    • $f(x+h)=f(x)+f^{\prime }(x)h+{\displaystyle \frac{f^{″}({\xi }_1)}{2!}}{h}^2,{\xi }_1\in (x,x+\xi )$，
    • $f(x-h)=f(x)-f^{\prime }(x)h+{\displaystyle \frac{f^{″}({\xi }_2)}{2!}}{h}^2,{\xi }_2\in (x-\xi ,x)$，
    • $f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+{\displaystyle \frac{f^{″}({\xi }_1)+f^{″}({\xi }_2)}{2}}{h}^2>2f(x)$

题目中常用泰勒展开

$x\to 0:$

• $\sin x=x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+o(x^3)$
• $\cos x=1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^4}{24}}+o(x^4)$
• $\tan x=x+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+o(x^3)$
• $\ln (1+x)=x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+o(x^3)$
• $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+{\displaystyle \frac{\alpha (\alpha -1)}{2}}{x}^2+o(x^2)$
  • $\sqrt{1+x}=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2+o(x^2)$
  • $\sqrt[3]{1+x}=1+{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{9}}{x}^2+o(x^2)$

---

• $\arcsin x=x+{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+o(x^3)$
• $\arctan x=x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+o(x^3)$