11.2 正项级数及其敛散性

正项级数的概念

https://zh.wikipedia.org/wiki/审敛法 若级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 的一般项 $a_n\ge 0(n\in {\mathbb{Z}}^{+})$, 则级数为正项级数

正项级数的部分和数列 $\{S_n\}$ 显然为单调递增

交错级数

各项正负相间的级数, 即形如

$$\pm \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{a}_n(a_n>0)$$

的级数为交错级数

敛散性判断

收敛原理

正项级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 收敛 $⟺$ 其部分和数列 $\{S_n\}$ 有上界

推广到非正项级数的情况 (充分大时为正项数列)

$\mathrm{\exists }N>0$, s.t. 当 $n>N$ 时, 有 $a_n\ge 0$, 以上定理可用

推论 若正项级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 发散, 则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=+\mathrm{\infty }$

$\mathit{p}$ 级数

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^p}}$$

• 当 $p>1$, 收敛
• 当 $p\le 1$, 发散

比较判别法

若 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 和 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$ 均是正项级数, 且 $\mathrm{\exists }k>0,\mathrm{\exists }N\in {\mathbf{Z}}^{+}$, 使得当 $n>N$ 时,

$$a_n⩽k{b}_n$$

• 当 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$ 收敛时, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 也收敛
• 当 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 发散时, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$ 也发散 (逆否命题)

推论1

设正项级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$, 若 ${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}⩽\frac{b_{n+1}}{b_n}}$ (“$b_n$ 收敛速度比 $a_n$ 慢”), $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, 那么,

• 当 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$ 收敛时, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 也收敛
• 当 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 发散时, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$ 也发散 (逆否命题)

推论2 (极限形式)

设 $a_n⩾0$ 且 $b_n>0(n\in {\mathbf{N}}^{+})$, 又 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=l}$, 那么

• 当 $0<l<+\mathrm{\infty }$ 时, 级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 与 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$ 有相同的敛散性
• 当 $l=0$ 时, 若 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$ 收敛, 则 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 收敛
• 当 $l=+\mathrm{\infty }$ 时, 若 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$ 发散, 则 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 发散

等价量法

对正项级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$, 若有 $c>0$ 使得 $a_n\sim {\displaystyle \frac{c}{n^p}}(n\to \mathrm{\infty })$, 则 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 与 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}}$ 同敛散

p-判别法

利用 $p$ 级数的敛散型判断

设 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 是正项级数, 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^p{a}_n=l$, 那么

• 当 $0⩽l<+\mathrm{\infty }$, 且 $p>1$ 时, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 收敛
• 当 $0<l⩽+\mathrm{\infty }$, 且 $p⩽1$ 时, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 发散

比值判别法

设 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 为正项级数, 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}=l$, 那么

• 当 $0⩽l<1$ 时, 级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 收敛
• 当 $1<l⩽+\mathrm{\infty }$ 时, 级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 发散
• 当 $l=1$ 时, 比值判别法失效
• 注意比值判别法中的 $lim$

根值判别法

设 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 为正项级数, 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=l$, 那么

• 当 $0⩽l<1$ 时, 级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 收敛
• 当 $1<l⩽+\mathrm{\infty }$ 时, 级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 发散
• 当 $l=1$ 时, 根值判别法失效
• 根值法的本质也是等比级数为比较级数的比较判别法
• 逆命题不成立, 正项级数 ${\displaystyle \sum a_n}$ 收敛不能推出 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}<1$

积分判别法

设 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 为正项级数, 若：

• 非负函数 $f(x)$ 在 $[1,+\mathrm{\infty })$ 上单调减少
• $\mathrm{\forall }n\in {\mathbf{Z}}^{+}$, 有 $a_n=f(n)$

则级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 与反常积分 ${\displaystyle {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 有相同的敛散性