9.3 三重积分的计算

直角坐标系下的计算

柱线法

若 $\mathit{\Omega }$ 以曲面 $z=z_1(x,y)$ 为底, $z=z_2(x,y)$ 为顶, 则有 $\mathit{x}\mathit{y}$ 型正则区域

$$\mathit{\Omega }=\{(x,y,z)\mid z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),(x,y)\in D\}$$

将三重积分化为下限为 $z_1(x,y)$, 上限为 $z_2(x,y)$ 的一个定积分 于是对投影区域 $D$, 可按二重积分化简

$$\underset{\mathit{\Omega }}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}V={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}\mathrm{d}y{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$$

截面法

区域 $\mathit{\Omega }$ 介于两平面 $z=h_1,z=h_2$ 之间, 平面 $z=z(h_1\le z\le h_2)$ 截 $\mathit{\Omega }$ 所得区域为 $D_z$, 则有 $\mathit{z}$ 型空间区域

$$\mathit{\Omega }=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D_z,h_1\le z\le h_2\}$$$$\underset{\mathit{\Omega }}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}V={\int }_{h_1}^{h_2}\mathrm{d}z\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

后续的二重积分分别求出 $x,y$ 对 $z$ 的函数关系即可

三重积分的变量代换

$$\underset{\mathit{\Omega }}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}V=\underset{{\mathit{\Omega }}^{\prime }}{\iiint }f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w$$$$J={\displaystyle \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}=\left|\begin{array}{ccc}{x}_u& x_v& x_w\\ y_u& y_v& y_w\\ z_u& z_v& z_w\end{array}\right|$$

柱面坐标系下的计算

柱面坐标系

设点 $M(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$, $M$ 在 $xOy$ 平面上投影 $P$ 的极坐标为 $(r,\theta )$, 则称 $r,\theta ,z$ 为点 $M$ 的柱面坐标, 对应的坐标系为柱面坐标系 范围

$$0\le r<+\mathrm{\infty },0\le \theta \le 2\pi \text{ (or }-\pi \le \theta \le \pi ),-\mathrm{\infty }<z<+\mathrm{\infty }$$

柱面坐标变换

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta ,\\ y=r\sin \theta ,\\ z=z.\end{array}$$$$J=r$$

柱线法:

$$\underset{\mathit{\Omega }}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}V=\underset{D_{r\theta }}{\iint }r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta {\int }_{z_1(r,\theta )}^{z_2(r,\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)\mathrm{d}z$$

截面法:

$$\underset{\mathit{\Omega }}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}V={\int }_{c_1}^{c_2}\mathrm{d}z\underset{D_z}{\iint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)r\mathrm{d}z$$

球面坐标系下的计算

球面坐标系

设点 $M(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$, 点 $M$ 可由三个有序实数 $\rho ,\phi ,\theta$ 确定, $\rho =|\overrightarrow{OM}|$, $\phi$ 为 $\overrightarrow{OM}$ 与 $z$ 轴正向的夹角, $\theta$ 为定位向量 $\overrightarrow{OM}$ 在 $xy$ 平面上投影向量 $\overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正向的夹角, 则称 $\rho ,\phi ,\theta$ 为点 $M$ 的球面坐标, 对应的坐标系为球面坐标系 范围

$$0\le \rho <+\mathrm{\infty },0\le \phi \le \pi ,0\le \theta \le 2\pi \text{ or }-\pi \le \theta \le \pi$$

球面坐标变换

$$\{\begin{array}{l}x=\rho \sin \phi \cos \theta ,\\ y=\rho \sin \phi \sin \theta ,\\ z=\rho \cos \phi .\end{array}$$$$J={\rho }^2\sin \phi$$$$\underset{\mathit{\Omega }}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}V={\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}\theta {\int }_{{\phi }_1(\theta )}^{{\phi }_2(\theta )}\mathrm{d}\phi {\int }_{{\rho }_1(\phi ,\theta )}^{{\rho }_2(\phi ,\theta )}f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi ){\rho }^2\sin \phi \mathrm{d}\rho$$

何时应用球坐标变换

当被积函数或积分区域包含类似于 $x^2+y^2+z^2$ 的形式, 应当

$${\rho }^2=x^2+y^2+z^2$$

带系数的形式可以采用广义球面坐标变换

$${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}⟹\{\begin{array}{l}x=a\rho \sin \phi \cos \theta ,\\ y=b\rho \sin \phi \sin \theta ,\\ z=c\rho \cos \phi .\end{array}J=abc{\rho }^2\sin \phi$$