函数的单调性

定理 单调性

设函数 $f(x)\in C[a,b]\cap D(a,b)$， 则

$$f(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{增}\mathrm{加}(\mathrm{减}\mathrm{少})⟺\mathrm{\forall }x\in (a,b),f^{\prime }(x)\ge 0(\le 0)$$

• 证明
  • $⟹:$
    • 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调增加
    • 有 $|h|$ 充分小时，${\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\ge 0$
    • 保号性 $\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=f^{\prime }(x)\ge 0$
  • $⟸:$
    • 设 $x\in [a,b],f^{\prime }(x)\ge 0$，
    • $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in [a,b],x_1<x_2$，
    • 由拉格朗日定理 $f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(\xi )(x_2-x_1)\ge 0,\xi \in (x_1,x_2)$，
    • 单调增加
• 若在开区间（无穷区间）讨论单调性，则端点处不必连续

定理 严格单调性

条件同上，并且在 $(a,b)$ 内的任何子区间上 $f^{\prime }(x)\not\equiv 0$

• 证明

推论

如果在区间 $I$ 上，$f^{\prime }(x)$ 在有限个点上为 $0$，其余均 $>0(<0)$， 则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调增加（减少）

运用

• 确定函数形态
  • 解导函数方程求出驻点
  • 列表法确定单调区间

$x$	$(-\mathrm{\infty },a)$	$a$	$(a,b)$	$b$	$(b,+\mathrm{\infty })$
$f^{\prime }$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$\nearrow$	$f(a)$	$\searrow$	$f(b)$	$\nearrow$

• 证明数列单调性->单调有界数列极限存在
  • 可以证出单调，但是具体单增还是单减需要靠特殊项判断

函数的极值和最值

回顾：极值的概念

• 可导极值点是驻点
• 驻点未必是极值点
• 不可导点可能是极值，也可能不是

极值的第一判别法

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域 $U(x_0,\delta )$ 内连续，且在去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 内可导，

极值	$x_0$ 左侧	$x_0$ 右侧
极小值	$f^{\prime }(x)<0$	$f^{\prime }(x)>0$
极大值	$f^{\prime }(x)>0$	$f^{\prime }(x)<0$
无极值	$f^{\prime }(x)$ 同号	$f^{\prime }(x)$ 同号

• 充分条件

极值的第二判别法（二阶导数）

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 有二阶导数，且 $f^{\prime }(x_0)=0$，

极值	$f^{″}(x_0)$
极小值	$>0$
极大值	$<0$

运用

• 找区间内最值
  • 比较以下函数值
    • 端点（无穷远处）
    • 所有驻点
    • 不可导点
  • 若可导函数在区间内仅有一个驻点，且为极值点，则该点为最值点
• 证明不等式
  • 作差比较构造函数

函数的凸性和拐点

定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 连续，若 $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in I,\alpha \in (0,1)$，有

凸性	$f[\alpha x_1+(1-\alpha )x_2]-\alpha f(x_1)+(1-\alpha )f(x_2)$
下凸 (concave downward)	$\le 0$
严格下凸	$<0,x_1\ne x_2$
上凸 (concave upward)	$\ge 0$
严格上凸	$>0,x_1\ne x_2$

• 几何意义
  • 函数曲线上任意两点间的弦位于对应弧段的上方或下方

凸性的第一判别法

设函数 $f(x)\in D(a,b)$，若导函数 $f^{\prime }(x)$ 在 $(a,b)$ 内严格单调增加（减少）， 则函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内严格下凸（上凸）

凸性的第二判别法（二阶导数）

设函数 $f(x)\in D^2(a,b)$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内

• $f^{″}(x)>0$，下凸
• $f^{″}(x)<0$，上凸

拐点

设 $f(x)\in C(a,b)$ 若 $x_0\in (a,b)$ 为 $f(x)$ 下凸与上凸的分界点， 则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的拐点 点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的拐点

• 函数的拐点在这些点中
  • 二阶导数为零
  • 二阶导数不存在
• 拐点表示函数增长率发生变化

凸性与拐点的表示

列表法

$$\begin{array}{|cccccc|}\hline x& (-\mathrm{\infty },a)& a& (a,b)& b& (b,+\mathrm{\infty })\\ f^{″}& -& 0& +& N/A& -\\ f& \cap & f(a)& \cup & f(b)& \cap \\ \hline\end{array}$$

运用

• 证明不等式
  • 构造辅助函数

函数图形的描绘

渐近线

若连续函数 $C$ 上的点 $P$ 沿着曲线无限地远离原点 $O$ 时， 点 $P$ 与某一定直线 $L$ 的距离 $\mathrm{dist}(P,L)$ 趋于零，即$\underset{|OP|\to +\mathrm{\infty }}{lim}\mathrm{dist}(P,L)=0$， 则称直线 $L$ 为曲线 $C$ 的渐近线

铅直渐近线

若当 $x\to x_0$（或 $x\to x_0^{+},x\to x_0^{-}$）时，$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$ 则直线 $x=x_0$ 是曲线 $f(x)$ 的铅直渐近线

• 无穷间断点

y=\frac{x^3-2x+1}{x^2-1}
x=-1|dashed
(1,0.5)|open

水平渐近线

若当 $x\to \mathrm{\infty }$（或 $x\to +\mathrm{\infty },x\to -\mathrm{\infty }$）时，$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=b(b\in \mathbb{R})$

y=\frac{1}{x}+1
y=1|dashed

斜渐近线

若当 $x\to \mathrm{\infty }$（或 $x\to +\mathrm{\infty },x\to -\mathrm{\infty }$）时，曲线 $f(x)$ 与直线 $y=ax+b(a\ne 0)$ 的距离趋于零，即$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-ax-b]=0$ 则直线 $y=ax+b$ 是曲线 $f(x)$ 的斜渐近线

y=x+\frac{1}{x}
y=x|dashed

• 确定斜渐近线
  • $a=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}},b=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-ax]$

描绘曲线

1. 确定总体性质
   • 定义域
   • 奇偶性
   • 周期性
   • 特殊点（坐标轴）
2. 求出一阶导数和二阶导数
   • 驻点
   • 可疑拐点
3. 列表，通过定义域、驻点、零点…划分 5pt
   • 单调区间
   • 极值点与极值 1pt
   • 凸性区间
   • 拐点坐标 1pt
4. 确定渐近线 3pt
   1. 先找无穷间断点
   2. 判断是否有水平渐近线
      • 求 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)$
   3. 或者跳过上一步，直接求斜渐近线
      • 求 $a,b$
      • 若 $a=0$，则为水平渐近线
5. 作图 2pt

函数 $y=f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime }(x_0)=f^{″}(x_0)=0$ 则 $x_0$ 或为极值点或为拐点，但不同时成立