定性描述

• 自变量变化时，函数值的一种变化趋势
• 与该自变量对应的函数值无关
• ->连续的概念通过极限定义
  • $\begin{array}{r}\mathrm{对}y=f(x),\mathrm{若}\mathrm{当}x\to a\mathrm{时},\mathrm{有}y\to f(a)\\ \mathrm{则}\mathrm{称}f(x)\mathrm{在}x=a\mathrm{处}\mathrm{连}\mathrm{续}\end{array}$

极限的定义

设函数$f(x)$在点$a$的一个去心邻域内有定义， 若存在实数A，对$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-A|<\epsilon$（函数值的误差）， 则称当$x$趋于$a$时，函数$f(x)$的极限是$A$，或$f(x)$收敛于$A$ 记为$\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$或$f(x)\to A(x\to a)$

• 证明时放缩得到$|f(x)-A|\le |M-A|$

• 局部性，只与一个去心邻域有关

• 不收敛于A的数学描述（对偶法则）？

单侧极限

极限考虑了自变量从两侧趋于一点时函数值的变化趋势 仅考虑一侧，则有单侧极限

定义

• 右极限
  • 设函数$f(x)$在点$a$的一个（去心）右邻域内有定义，若存在实数A，对$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0$，使得当$a<x<a+\delta$时，有$|f(x)-A|<\epsilon$，则称函数$f(x)$在点a的右极限是$A$
  • 记为$\underset{x\to a+}{lim}f(x)=A$或$f(a+0)\to A$
• 左极限
  • 记为$\underset{x\to a-}{lim}f(x)=A$或$f(a-0)\to A$

定理

$\underset{x\to a}{lim}f(x)=A⟺f(a-0)=f(a+0)=A$

无穷远处的极限

定义

设函数$f(x)$在$(-\mathrm{\infty },-a)\cup (a,\mathrm{\infty })$上有定义，若存在实数$A$，对$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X>0$，使得当$|x|>X$时，有$|f(x)-A|<\epsilon$，则称当$x$趋于无穷大时，函数$f(x)$的极限是$A$，或$f(x)$收敛于$A$ 记为$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$或$f(x)\to A(x\to \mathrm{\infty })$或$f(\mathrm{\infty })=A$

• 若定义域为$(a,+\mathrm{\infty })$，而条件$|x|>X$改为$x>X$，则可定义当$x$趋于正无穷大时，函数$f(x)$的极限有$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=f(+\mathrm{\infty })=A$
• 同样有$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=f(-\mathrm{\infty })=A$

无穷小与无穷大

定义

若$\underset{x\to a}{lim}f(x)=0$，则称函数$f(x)$在$x\to a$是无穷小， 记为$f(x)=o(1)(x\to a)$ 若$\mathrm{\forall }G>0,\mathrm{\exists }\delta >0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有 $|f(x)|>G$

• 无穷大与无穷小同样可以定义在
  • 左、右极限处
  • 无穷远处
  • 正、负无穷远处
• 讨论函数的无穷大与无穷小时，需说明是何种极限

性质^[由习题课补充]

ab是无穷小，a+b也是无穷小 a是无穷小，u有界，则au也是无穷小 极限与无穷小关系 limu=A\iff u=A+alpha,lim\alpha=0

定理

海涅定理

函数极限$\underset{x\to a}{lim}f(x)=A⟺$ 对任一满足$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$且$x_n\ne a$的数列$\{x_n\}$，均有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=A$

• 证明

  • $\Rightarrow :\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{当}0<|x-a|<\delta \mathrm{时},|f(x)-A|<\epsilon ,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}=a$
  • $\Leftarrow :\mathrm{反}\mathrm{证}\mathrm{法},\mathrm{假}\mathrm{设}\underset{x\to a}{lim}\ne A$

• 可用于构造两个极限一致的数列但是对函数的极限不一致，来证明函数极限不存在

• （无界但不是无穷大）

定理（唯一性）

若$\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$，又$\underset{x\to a}{lim}f(x)=B$，则$A=B$

• 证明
  • 由数列极限唯一性，及海涅定理即得

定理（局部有界性）

若 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$，则 $\mathrm{\exists }\delta >0$，使得函数 $f(x)$ 在 $\mathring{U}(a,\delta )$ 内有界

定理（局部保序性）

设 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A,\underset{x\to a}{lim}g(x)=B$，且 $A>B$，则 $\mathrm{\exists }\delta >0$，当 $x\in \mathring{U}(a,\delta )$ 时，$$f(x)>g(x)$$

推论1（局部保号性）

若 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A>0(<0)$，则 $\mathrm{\exists }\delta >0$，当 $x\in \mathring{U}(a,\delta )$ 时，

$$\begin{array}{c}f(x)>{\displaystyle \frac{A}{2}}>0(f(x)<{\displaystyle \frac{A}{2}}<0)\\ \\ |f(x)|>{\displaystyle \frac{|A|}{2}}>0\end{array}$$

推论2（逆命题）

若 $\mathrm{\exists }\delta >0$，当 $x\in \mathring{U}(a,\delta )$ 时，有 $f(x)\ge 0(f(x)\le 0)$，且 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$，则

$$A\ge 0(A\le 0)$$

极限的四则运算

定理

• 若$A=B=0$，又称$\frac{0}{0}$型待定型
  • 例 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$

极限的复合运算

定理

若$\underset{u\to b}{lim}f(u)=A,\underset{x\to a}{lim}g(x)=b$，且当$x\in \mathring{U}(a)$时，$g(x)\ne b$，则$\underset{x\to a}{lim}f(g(x))=A$

• 证明
• 条件$g(x)\ne b$是必要的
  • 反例 $g(x)=b,f(x)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlr}& A,& x\ne b\\ & A+1,& x=b\end{array}\end{array},\mathrm{则}\underset{x\to a}{lim}f(g(x))=A+1$

幂指函数极限

形如$y(x)=f(x{)}^{g(x)}$的函数叫幂指函数 若$\underset{x\to a}{lim}f(x)=A,\underset{x\to a}{lim}g(x)=B,\mathrm{则}\underset{x\to a}{lim}f(x{)}^{g(x)}=A^B$

• 证明
  • 利用$\underset{x\to a}{lim}\ln x=\ln a(a>0)$和$\underset{x\to b}{lim}{e}^x=e^b$
• 若$\underset{x\to a}{lim}f(x)=1,\underset{x\to a}{lim}g(x)=\mathrm{\infty },\mathrm{且}\underset{x\to a}{lim}(f(x)-1)g(x)\mathrm{存}\mathrm{在},\mathrm{则}\underset{x\to a}{lim}f(x{)}^{g(x)}=e^{\underset{x\to a}{lim}(f(x)-1)g(x)}$
  • 证明没有啦

夹逼定理

若$\mathrm{\forall }x\in \mathring{U}(a,\delta ),g(x)\le f(x)\le h(x)$，且$\underset{x\to a}{lim}g(x)=\underset{x\to a}{lim}h(x)=A,\mathrm{则}\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$

单调有界定理

两个重要极限

1. $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$ ^648751
   • 由$\cos x<{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}<1(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$夹逼得来
2. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}{)}^x=e$ ^22f1a0
   • 先证$x\to +\mathrm{\infty }$。当x>1时，有$1+{\displaystyle \frac{1}{[x]+1}}<1+{\displaystyle \frac{1}{x}}\le 1+{\displaystyle \frac{1}{[x]}}$
   • $\therefore (1+{\displaystyle \frac{1}{[x]+1}}{)}^{[x]}<(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}{)}^x\le (1+{\displaystyle \frac{1}{[x]}}{)}^{[x]+1}$
   • 通过e的定义（数列部分）夹逼
   • 再证$x\to -\mathrm{\infty }$

无穷小的比较

定义

$\mathrm{设}\underset{x\to a}{lim}\alpha (x)=0,\underset{x\to a}{lim}\beta (x)=0,\mathrm{且}\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{\beta (x)}{\alpha (x)}}=l,0\le l\le +\mathrm{\infty }$

1. $\mathrm{若}l=0,\mathrm{则}\mathrm{称}x\to a\mathrm{时},\beta (x)\mathrm{是}\alpha (x)\mathrm{的}\mathrm{高}\mathrm{阶}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$
   • 记为$\beta (x)=o(\alpha (x))(x\to a)$
2. $\mathrm{若}l=+\mathrm{\infty },\mathrm{则}\mathrm{称}x\to a\mathrm{时},\alpha (x)\mathrm{是}\beta (x)\mathrm{的}\mathrm{高}\mathrm{阶}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$
3. $\mathrm{若}0<l<+\mathrm{\infty },\mathrm{则}\mathrm{称}x\to a\mathrm{时},\alpha (x)\mathrm{是}\beta (x)\mathrm{的}\mathrm{同}\mathrm{阶}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$
   • 记为$\alpha (x)=O(\beta (x))(x\to a)$
   • $\mathrm{若}l=1,\mathrm{则}\mathrm{称}x\to a\mathrm{时},\alpha (x)\mathrm{是}\beta (x)\mathrm{的}\mathrm{同}\mathrm{阶}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$
     • 记为$\alpha (x)\sim \beta (x)(x\to a)$

• 当$x\to a$时，$o(x)=x\cdot o(1)$

k阶无穷小

定义

$\mathrm{设}\underset{x\to a}{lim}\alpha (x)=0,\mathrm{且}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{常}\mathrm{数}c\ne 0\mathrm{及}k>0,\mathrm{使}\mathrm{得}\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{\alpha (x)}{(x-a{)}^k}}=c$$\mathrm{则}\mathrm{称}\mathrm{当}x\to a\mathrm{时},\alpha (x)\mathrm{是}\mathrm{标}\mathrm{准}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}x-a\mathrm{的}k\mathrm{阶}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小},\mathrm{简}\mathrm{称}\alpha (x)\mathrm{是}k\mathrm{阶}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$$\mathrm{称}c(x-a{)}^k\mathrm{是}\alpha (x)\mathrm{的}\mathrm{主}\mathrm{部}$

• 标准无穷小 $x-a$
  • 在无穷小的比较和运算中选择一个形式简单的无穷小作为“度量”标准
• 主部/主要部分 $c(x-a{)}^k$ ......

常用等价无穷小量

常用等价无穷小量

等价无穷小替换

等价无穷小的替换时，公式中的x可以是自变量，也可以是任意一个无穷小的函数->复合函数 替换过程中，自变量与函数需保证为无穷小量

定理

$\mathrm{设}\mathrm{当}x\to 0\mathrm{时},\alpha (x)\sim \tilde{\alpha }(x),\beta (x)\sim \tilde{\beta }(x)$

$$\mathrm{则}lim{\displaystyle \frac{f(x)\alpha (x)}{\beta (x)}}=lim{\displaystyle \frac{f(x)\tilde{\alpha }(x)}{\tilde{\beta }(x)}}$$

• 证明

  • ...

• 在分子及分母里，只要各因子以乘法的形式相结合，均可逐一对应地使用等价无穷小替换

• 无穷小量是分子或分母中代数和的一部分，原则上不能使用等价无穷小替换

  • ${\displaystyle \frac{0+0}{0}}$型
  • $\sin x-x=o(x)=-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+o(x^3)$，等价无穷小替换只是一种近似
    • 见泰勒公式求极限