之前所讨论的为常义积分，反常积分（Peverse Integral）则讨论广义积分

无穷区间上的反常积分

定义

定义在 $[a,+\mathrm{\infty }]$ 上的函数 $f(x)$，$\mathrm{\forall }b>a,f\in R[a,b]$，则形式积分

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$$

称为 $f(x)$ 在无穷区间 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上的反常积分

若极限 ${\displaystyle \underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 存在，则反常积分收敛，其值为

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x={\displaystyle \underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$

若极限不存在，则反常积分发散

类似地有

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)\mathrm{d}x={\displaystyle \underset{a\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$

• 计算时，极限符号右边看作是常积分，求出其原函数值相减再取极限

• 当 $x\to +\mathrm{\infty }$，$F(x)$ 的极限不存在，则反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 发散

• $(1,+\mathrm{\infty })$ 上的“$p$ 积分”

  • ${\displaystyle {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^p}}\mathrm{d}x}$，当 $p>1$ 时发散，当 $p\le 1$ 时收敛

• 乘积可积性对反常积分不适用

推广定义

定义在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上的函数 $f(x)$，$\mathrm{\exists }c\in \mathbb{R},\text{s.t.}{\displaystyle {\int }_c^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x\text{ and }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{c}f(x)\mathrm{d}x\text{ converge}}$，则称反常积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 收敛，其值为

$${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x={\int }_c^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{c}f(x)\mathrm{d}x}$$

否则反常积分发散

• 无界区间上奇函数积分为零不适用：不满足两个无穷区间上积分收敛的定义
• 左右两部分的极限是独立的，需要两个极限都存在

推广形式的 Newton-Leibniz 公式

设函数 $f(x)\in C[a,+\mathrm{\infty })$，$F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上的一个原函数，且 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(x)=F(+\mathrm{\infty })$ 存在，则有

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x=F(x){|}_a^{+\mathrm{\infty }}=F(+\mathrm{\infty })-F(a)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(x)-F(a)$$

• 当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时，若 $F(x)$ 极限不存在，则反常积分发散

无界函数的反常积分（瑕积分）

若 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的任意邻域无界，则 $x_0$ 为 $f(x)$ 的奇点（Singularity）

定义

定义在 $[a,b)$ 上的函数 $f(x)$，$b$ 是 $f(x)$ 的奇点，且 $\mathrm{\forall }\epsilon >0(\epsilon <b-a),f(x)\in R[a,b-\epsilon ]$，则形式积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 为函数在区间上的反常积分 极限 $\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}{\displaystyle {\int }_a^{b-\epsilon }f(x)\mathrm{d}x}$ 存在，则反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 收敛，其值为

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}{\displaystyle {\int }_a^{b-\epsilon }f(x)\mathrm{d}x}$$

反之则反常积分发散

类似有 $(a,b]$ 上，$a\text{ is the singularity of }f(x)$，

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}{\displaystyle {\int }_{a-\epsilon }^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$

If $c\in (a,b)$ is the only singularity of $f(x)$ in the interval, and if perverse integral ${\displaystyle {\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x}$ and ${\displaystyle {\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ converge, then ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ converges, define its value as

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

• 如果反常积分可以通过换元法换成定积分，则反常积分收敛
  • 无界函数的反常积分也可化为无穷区间的反常积分
• $(0,1)$ 上的“$p$ 积分”
  • ${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{x^p}}\mathrm{d}x}$ 当 $p<1$ 时收敛，当 $p\ge 1$ 时发散
  • 小小收，大大收

反常积分的收敛判别法

比较判别法

设 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上满足 $0\le f(x)\le g(x)$，则

1. 当 ${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x}$ 收敛时，${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 也收敛
2. 当 ${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x}$ 发散时，${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 也发散

A - D 判别法

${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)g(x)\mathrm{d}x}$ 收敛的判别法

• Abel 判别法
  • ${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 收敛，$g(x)$ 单调有界

$\mathrm{\Gamma }$ function

$$\mathrm{\Gamma }(s)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{s-1}{e}^{-x}\mathrm{d}x(s>0)$$